تفاضلات تقسیم شده

۱. نگاه اولیه به تفاضل

چارلز بابیج، در سال ۱۸۲۱، دستگاهی اختراع کرد که امروزه به عنوان پدربزرگ کامپیوتر‌های مدرن از آن یاد می‌‌شود، او نام این دستگاه را “ماشین تفاضل” گذاشت زیرا هدف از اختراع آن ساختن جدول‌های ریاضی با استفاده از روش‌هایی‌ بود که در این مقاله آمده‌اند.

امروزه هر مهندس، ریاضی‌دان یا فیزیک‌دانی‌ یک ماشین حساب جیبی‌ و یک کامپیوتر شخصی‌ همراه خود دارد. اما سالیان سال قبل از این‌که کامپیوتر‌های الکترونیکی اختراع شوند مهندسان، ریاضی‌دانان و فیزیک‌دانان بسیاری وجود داشته‌اند. آن‌ها چگونه محاسبات سخت و پیچیده‌ای را که شغلشان ایجاب می‌‌کرد، انجام می‌‌دادند؟

قسمتی‌ از جواب این سوال در استفاده از “جدول‌ها” نهفته است. امروزه برای اینکه مقدار $\sin 44^{\circ}$ را به دست آوریم کافی‌ است دکمه آن را بر روی ماشین‌حساب خود فشار دهیم. در گذشته برای پیدا کردن این جواب باید کتاب قطوری را با خود حمل می‌کردیم و جواب صحیح را از داخلش پیدا می‌کردیم.

به عنوان یک مثال ساده، جدول زیر مربوط به مربع اعداد است.

اگر بخواهیم مقدار $\large 5^2$ را به دست آوریم کافی‌ است به عدد زیر $\large 5$ را نگاه کنیم.

  • تمرین ۱

جدول مشابهی‌ برای مکعب اعداد تهیه کنید.

ریاضی دانان روش‌ها و ساختار‌های بسیاری برای استفاده آسان تر از این جدول‌ها را پیدا کردند. یکی‌ از این روش‌ها را می‌‌توانید مشاهده کنید. جدول مربعات را در نظر بگیرید. تفاضل اعداد ورودی را به طور متوالی، همان گونه که در زیر می‌بینید به دست آورده‌ایم.

اکنون اختلاف تفاضل‌های به دست آمده را به طور متوالی محاسبه می‌‌کنیم:

در آخر تفاضل تفاضل‌های تفاضلات را محاسبه می‌‌کنیم و به دست می‌‌آوریم:

فرض کنید همین کار را برای جدول توان $۴$ اُم انجام دهیم.

این بار تفاضل‌های متوالی جدول زیر را به دنبال خواهند داشت:

  • تمرین ۲

الف) جدول توان‌های $۴$ اُم اعداد را طوری گسترش دهید که شامل $n=8$ و $n=9$ باشد. تحقیق کنید که الگوی پیشنهادی بالا ادامه خواهد داشت.

ب) نتیجه تفاضلات تکرار شده روی جدول مکعبات اعداد را به دست آورید.

  • تمرین ۳

الف) نتیجهٔ تفاضلات تکرار شده روی $۳n^3-5n^2$ را به دست آورید.

ب) نتیجه تفضلات تکرار شده را روی یک چند جمله‌ای دلخواه به دست آورید.

این گونه به نظر می‌‌رسد که نتیجۀ اعمال تفاضلات مکرر روی چند جمله‌ای از درجه $m$ ، تولید شدن یک ردیف صفر پس از حداکثر $m+1$ تفاضل است. اکنون می‌‌خواهیم حدس خود را روی حالت کلی‌ معادلات درجه دو به شکل $f(n)=An^2+Bn+C$ امتحان کنیم. در زیر قسمتی از جدول اولیه نشان داده شده است:

تفاضلات تکرار شده نیز به صورت زیر است:

از آنجایی که می‌‌توان%D