تفاضلات تقسیم شده

۱. نگاه اولیه به تفاضل

چارلز بابیج، در سال ۱۸۲۱، دستگاهی اختراع کرد که امروزه به عنوان پدربزرگ کامپیوتر‌های مدرن از آن یاد می‌‌شود، او نام این دستگاه را “ماشین تفاضل” گذاشت زیرا هدف از اختراع آن ساختن جدول‌های ریاضی با استفاده از روش‌هایی‌ بود که در این مقاله آمده‌اند.

امروزه هر مهندس، ریاضی‌دان یا فیزیک‌دانی‌ یک ماشین حساب جیبی‌ و یک کامپیوتر شخصی‌ همراه خود دارد. اما سالیان سال قبل از این‌که کامپیوتر‌های الکترونیکی اختراع شوند مهندسان، ریاضی‌دانان و فیزیک‌دانان بسیاری وجود داشته‌اند. آن‌ها چگونه محاسبات سخت و پیچیده‌ای را که شغلشان ایجاب می‌‌کرد، انجام می‌‌دادند؟

قسمتی‌ از جواب این سوال در استفاده از “جدول‌ها” نهفته است. امروزه برای اینکه مقدار $\sin 44^{\circ}$ را به دست آوریم کافی‌ است دکمه آن را بر روی ماشین‌حساب خود فشار دهیم. در گذشته برای پیدا کردن این جواب باید کتاب قطوری را با خود حمل می‌کردیم و جواب صحیح را از داخلش پیدا می‌کردیم.

به عنوان یک مثال ساده، جدول زیر مربوط به مربع اعداد است.

اگر بخواهیم مقدار $\large 5^2$ را به دست آوریم کافی‌ است به عدد زیر $\large 5$ را نگاه کنیم.

  • تمرین ۱

جدول مشابهی‌ برای مکعب اعداد تهیه کنید.

ریاضی دانان روش‌ها و ساختار‌های بسیاری برای استفاده آسان تر از این جدول‌ها را پیدا کردند. یکی‌ از این روش‌ها را می‌‌توانید مشاهده کنید. جدول مربعات را در نظر بگیرید. تفاضل اعداد ورودی را به طور متوالی، همان گونه که در زیر می‌بینید به دست آورده‌ایم.

اکنون اختلاف تفاضل‌های به دست آمده را به طور متوالی محاسبه می‌‌کنیم:

در آخر تفاضل تفاضل‌های تفاضلات را محاسبه می‌‌کنیم و به دست می‌‌آوریم:

فرض کنید همین کار را برای جدول توان $۴$ اُم انجام دهیم.

این بار تفاضل‌های متوالی جدول زیر را به دنبال خواهند داشت:

  • تمرین ۲

الف) جدول توان‌های $۴$ اُم اعداد را طوری گسترش دهید که شامل $n=8$ و $n=9$ باشد. تحقیق کنید که الگوی پیشنهادی بالا ادامه خواهد داشت.

ب) نتیجه تفاضلات تکرار شده روی جدول مکعبات اعداد را به دست آورید.

  • تمرین ۳

الف) نتیجهٔ تفاضلات تکرار شده روی $۳n^3-5n^2$ را به دست آورید.

ب) نتیجه تفضلات تکرار شده را روی یک چند جمله‌ای دلخواه به دست آورید.

این گونه به نظر می‌‌رسد که نتیجۀ اعمال تفاضلات مکرر روی چند جمله‌ای از درجه $m$ ، تولید شدن یک ردیف صفر پس از حداکثر $m+1$ تفاضل است. اکنون می‌‌خواهیم حدس خود را روی حالت کلی‌ معادلات درجه دو به شکل $f(n)=An^2+Bn+C$ امتحان کنیم. در زیر قسمتی از جدول اولیه نشان داده شده است:

تفاضلات تکرار شده نیز به صورت زیر است:

از آنجایی که می‌‌توانیم به جای $k$ هر عدد دلخواهی قرار دهیم، نتیجه می‌‌شود که حدس برای معادله کلی‌ درجه دو صحیح است.

  • تمرین ۴

درستی‌ حدس را برای حالت کلی‌ معادلات درجه سه نشان دهید.

تمرین بعدی عملیات جبری بیش‌تری نیاز دارد.

  • تمرین ۵

الف) اگر $f(n)=n^k$ باشد، نشان دهید که $f(n+1)-f(n)$ یک چند جمله‌ای بر حسب $n$ از درجه $k-1$ است.

ب) اگر $\large g(n)$ چند جمله‌ای از درجه $k$ باشد نشان دهید که $\large g(n+1)-\large g(n)$ یک چند جمله‌ای بر حسب $n$ از درجه $k-1$ است.

پ) این حدس را که نتیجه تفاضلات مکرر یک چند جمله‌ای از درجه $m$، پس از حداکثر $m+1$ تفاضل یک ردیف صفر تولید می‌‌کند، اثبات کنید.

اکنون، مشاهده می‌‌کنیم که با داشتن قسمت کوچکی از جدول می‌‌توان کّل جدول را بازسازی کرد. به طور مثال، فرض کنید $f$ چندجمله‌ای درجه دو باشد که جدول تفاضلات آن به شکل زیر است:

بلافاصله می‌‌توانیم ردیف یکی‌ مانده به آخر را پر کنیم:

و سپس ردیف قبلی‌ را به دست می‌‌آوریم:

  • تمرین ۶

الف) ردیف اول را پر کنید و بررسی‌ کنید که جدول متعلق به $n^2-n+1$   ، که در آن ورودی سمت چپ مربوط به $n=0$  است.

ب)جدول زیر را که مربوط به تفاضلات یک چند جمله‌ای درجه دو است، کامل کنید.

بررسی‌ کنید که جدول به دست آمده متعلق به چندجمله ای   $f(n)=3n^2-5n-3$ است ، که ورودی سمت چپش مربوط به  $n=0$ است.

حال فرض کنید می‌‌خواهیم چندجمله ای   $f(n)=n^3-3n^2+5n+1$ را جدول‌بندی کنیم. در زیر بخشی از جدول‌بندی آورده شده است که شما باید آن را بررسی‌ کنید.

اکنون قادر هستیم بخشی از جدول تفاضلات را که شما باید بررسی‌ کنید بکشیم.

اما اکنون می‌‌توانیم کّل جدول تفاضلات را بازسازی کنیم. در زیر قسمتی‌ از این بازسازی را می‌‌بینید.

توجه داشته باشید که جدول اصلی‌ را گسترش داده‌ایم تا بتوانیم مقادیر زیر را به دست آوریم:

  • تمرین ۷

بازسازی جدول اختلافات را تا نقطه‌ای که مقدار $f(n)$ به ازای  $n=-4$، $n=4$ و  $n=5$ در اختیار دارید ادامه دهید. پاسخ‌های خود را با محاسبه   $f(-4)$ ، $f(4)$ و $f(5)$  مستقیماً از تعریف بررسی‌ نمائید.

  • تمرین ۸

قرار دهید $f(n)=3n^2+2n+1$. $f(n)$ را به ازای  $n=-2, -1, 0, 1, 2$  محاسبه کنید. جدول جزئی تفاضلات را تشکیل دهید و سپس آن را تا جایی‌ که $f(n)$ را برای هر  $n$ که  $-۵\leq n\leq 4$  داشته باشید، باز سازی کنید. با محاسبه مستقیم  $f(n)$ پاسخ خود را بررسی‌ نمایید.

این موضوع که ( حداقل برای چند جمله‌ای ها) می‌‌توان از طریق تفاضلات، جدول را به طور کامل از روی جدول جزئی بازسازی کرد، اشارهٔ بسیار خوبی‌ به علت علاقۀ ریاضیدانان به ساختن چنین جدول‌هایی است.

اکنون یکی دیگر از این دلایل را بررسی‌ می‌‌کنیم. فرض کنید جدولی‌ مطابق زیر داریم:

که در آن همه ورودی‌ها به جز یکی‌ صفر هستند. اگر تفاضلات متوالی را محاسبه کنیم خواهیم داشت:

  • تمرین ۹

الف) یک ردیف دیگر از تفاضلات را به دست آورید.

ب) ردیف   ام تفاضلات را حدس بزنید.

پ) [ دشوار و اختیاری] حدس خود را اثبات کنید.

  • تمرین ۱۰

الف) تفاضلات متوالی را برای جدول زیر به دست آورید.

ب) تفاضلات متوالی را برای جدول زیر محاسبه کنید.

پ) تفاضلات متناهی را برای جدول زیر به دست آورید.

ت) فرض کنید  یک چند جمله‌ای از درجه سوم باشد. خط پنجم از جدول اختلافات متوالی برای   چیست؟ خط پنجم از جدول اختلافات متوالی را که خط اول آن به صورت زیر است به دست آورید.

شرح دهید که چگونه می‌‌توان تنها با نگاه کردن به خط پنجم مقدار $A$ را به دست آورد.

ث) جدول زیر می‌‌بایست مقادیر توان‌های $۴$ام را ارائه دهد اما یکی‌ از ورودی‌های آن اشتباه شده است.

با استفاده از تفاضلات متوالی این خطا را پیدا کنید و آن را تصحیح کنید.

ج) شرح دهید که چگونه می‌‌توان یک خطای کوچک در جدول چندجمله‌ای‌های درجه  $k$ را پیدا کرد و آن را تصحیح کرد.

چ)شرح دهید که چگونه می‌‌توان یک خطای کوچک در جدول چند جمله ای‌ها از درجه نا معلوم را مشخص و تصحیح نمود.

بنابراین تفاضلات پی‌ در پی‌ روش بسیار خوبی‌ برای یافتن خطا‌ها و تصحیح آنها در جدول به دست می‌‌دهد.

۲. نگاه دومی‌ بر عملیات تفاضل

تا کنون تنها به جدول‌های یک تابع مانند $f$ به عنوان روشی‌ برای یافتن  $f(n)$ که در آن  $n$ یک عدد صحیح است پرداختیم.

در حالی‌ که ما می‌خواهیم  $f(x)$ را در تمام نقاط $x$ داشته باشیم. به بیانی‌ دیگر، با داشتن $f(0), f(1), …, f(m)$ می‌خواهیم $f(x)$ را پیدا کنیم. خواهیم دید که این امر امکان پذیر است اما لازم است کمی‌ سطح دانش ریاضی را بالا ببریم.

نکته کلیدی برای به دست آوردن $f(x)$ در تمام نقاط $x$ ، مجموعه‌ای از مشاهدات است که حداقل به زمان نیوتن باز می‌‌گردد.

  • تمرین ۱۱

الف) تابع $\large f_2(x)= \large \frac{x(x-1)}{2!}$ را در نظر بگیرید. آن‌را به صورت زیر جدول بندی می‌‌کنیم:

جدول تفاضلات متوالی را برای آن به دست آورید.

ب) عملیات قسمت قبل را برای    $\large f_3(x)=\large \frac{x(x-1)(x-2)}{3!}$ و

$\large f_4(x)=\large \frac{x(x-1)(x-2)(x-3)}{4!}$ انجام دهید، همچنین برای $\large f_1(x)=\LARGE \frac{x}{1!}=\large x$ و  $\large f_0(x)=\large1$ نیز همین کار را انجام دهید.

پ) الگوی کلی‌ را حدس بزنید.

ت) [دشوار و اختیاری] حدس خود را اثبات کنید.

  • تمرین ۱۲

الف) قرار دهید  $f(x)=Af_3(x)+Bf_2(x)+Cf_1(x)+D$. همانند تمرین قبل، جدول تفاضلات پی‌درپی‌ را تشکیل دهید. اگر جدول را به فرم  زیر در نظر بگیریم،

؟، ؟، ؟ و ؟ رای شناسایی کنید.

ب) اگر $g$ یک چند جمله‌ای درجه سوم دلخواه باشد، نشان دهید که می‌‌توان  $c$, $b$ ,$a$  و $d$ را طوری پیدا کنیم که

$$\large g(x)=\large af_3(x)+\large bf_2(x)+\large cf_1(x)+\large d.$$

از این رو نشان دهید که  $g$  از روی جدول تفاضلات متوالی ا‌ش به دست می‌‌آید.

پ) الگوی کلی‌ را حدس بزنید.

ت) [دشوار و اختیاری] حدس خود را اثبات کنید.

می‌ توان نتایج حاصل از تمرین قبل را کمی گسترش داد. فرض کنید $f$ یک چندجمله‌ای از درجه $m$  باشد.اگر جدول تفاضلات را به صورت زیر بنویسیم $(h>0)$:

و به همین ترتیب ادامه دهیم، آنگاه

$$\large f(a+k)=\large a_0+\large a_1\large \frac{k}{h}+\large a_2\large \frac{k(k-h)}{2!h^2}+\large a_3\large \frac{k(k-h)(k-2h)}{3!h^3}+… \huge \star $$

  • تمرین ۱۳

[اختیاری] ثابت کنید اگر از فرمول  $\huge \star$ برای $۰\leq k\leq mh$ استفاده کنیم،

آنگاه می‌گوییم درون‌یابی‌ انجام داده‌ایم. اگر از فرمول  $\huge \star$ برای  $k$ خارج از ناحیه مذکور استفاده کنیم گوییم برون‌یابی‌ انجام داده‌ایم.

خواننده‌ بادقت ممکن است متوجه شده باشد که، هر چند بحث را با صحبت درباره جدول‌های تابع سینوسی آغاز کردیم اما هرآنچه در ادامه گفته شد با چند جمله ای‌ها سر و کار داشت. با این حال، همانطور که ریاضیدانان قرن هفدهم کشف کردند، نوع توابع “خوب” که ما دوست داریم آن‌ها را جدول بندی کنیم بسیار شبیه به چندجمله ای‌ها روی دامنه‌های مقادیر کوچک است. پس چون آنها شبیه به چند جمله‌ای‌ها هستند، فرمول $\huge \star$ که روی چندجمله‌ای‌ها اعمال می‌‌شود روی آنها نیز (با تقریبی بسیار نزدیک) به کار می‌‌رود. تنها نیاز است که تابع مورد نظرمان را در مقادیر کوچک محاسبه کنیم و سپس می‌‌توانیم از معادله  $\huge \star$ برای یافتن مقادیر تابع در نقاط دیگر استفاده کنیم.

به طور مثال، مقدار  $\ln x$ در تعداد مشخصی‌ از نقاط داده شده است.

جدول تفاضلات زیر را به دست می‌‌آوریم.

به این ترتیب، در معادله   $\huge \star$  داریم:

$$\large ?_{0}=1.60944, \large ?_{1}=0.01980, \large ?_{2}=0.00038, \large ?_{4}=0.0001.$$

بنابراین امیدواریم که

جای گذاری $k=0.11$ مقدار زیر را به دست می‌‌دهد:

$$\large \ln 5.11 \large \approx 1.63120$$

و به نظر می‌‌رسد که این مقدار با توجه به تعداد ارقام، صحیح باشد.

 

  • تمرین ۱۴

با استفاده از تقریب گفته شده مقدار  $\ln 5.16$ را محاسبه کنید. این مقدار را با پاسخ صحیح مقایسه نمائید. این تمرین را برای $\ln y$ وقتی‌ $y$ از محدوده $۵\leq y\leq 5.4$ انتخاب شود، تکرار کنید.

اگر چه که توابعی همچون $\ln$ روی دامنه مقادیر کوچک همانند چند جمله‌ای‌ها رفتار می‌‌کنند اما، روی دامنه‌های بزرگ مانند چند جمله‌ای‌ها رفتار نمی‌‌کنند. پس این تعجب برانگیز نیست که یک ایده برای درون‌یابی‌ ( به دست آوردن مقادیر تابع $f$ در یک نقطه با استفاده از مقادیر $f$ در نقاط نزدیک به نقطه مورد نظر) به خوبی‌ کار کند، اما زمانی‌ که می‌‌خواهیم مقدار تابع در نقاط بسیار دورتر از نقاطی که مقدار آنها را می‌‌دانیم به دست آوریم به خوبی‌ کار نکند ( یا اصلا کار نکند).

  • تمرین ۱۵

با استفاده از تقریب داده شده مقدار $\ln 10$  را محاسبه کنید. این مقدار را با پاسخ صحیح مقایسه کنید.

یک مشکل بسیار جدی تر در ارتباط با عملیات تفاضل وجود دارد که تا کنون از پرداختن به آن اجتناب شده‌است.  تا کنون، فرض کرده‌ایم که همه مقادیر اولیه‌ جدول‌بندی دقیقا داده شده‌اند.

در واقعیت، معمولاً با تعداد مشخصی‌ اعشار کار می‌‌کنیم. فرض کنید که مقادیر را به نزدیک‌ترین عدد صحیح گرد کنیم در این صورت یک جدول به شکل زیر

با جدول تفاضلات زیر

در واقع می‌‌تواند متعلق به مقادیر

با جدول اختلافات به صورت زیر باشد.

بنابر این اگر فقط، اولین خط از جدول اختلافات با دقت اپسیلون مشخص شود؛ دومین خط با دقت  $۲$ برابر اپسیلون مشخص می‌‌شود؛ و  $n$اُمین خط از دقت  $۲^n$ برابر اپسیلون خواهد بود.

این موضوع در عمل به این معناست که، ابتدا، ورودی‌های خطوط متوالی از جدول تفاضلات تمایل به کاهش خواهند داشت (همان گونه که در محاسبه دقیق مشاهده کردیم) اما چون خطا‌ها افزایش می‌‌یابند نقطه‌ای وجود خواهد داشت که در آن خطاها، محاسبه را تخریب می‌‌کنند و ورودی‌های خط‌های متوالی تمایل به افزایش پیدا می‌‌کنند.

به عنوان مثال، ورودی‌های زیر را در جدول سینوس‌ها در نظر بگیرید: ( x نشان دهنده زوایا است.)

در زیر جدول تفاضلات مربوطه را مشاهده می‌‌کنید.

واضح است که تنها دو خط اول از جدول اختلافات (و شاید اگر دقیق تر فکر کنیم خط سوم) دارای اطلاعات باشند. در خطوط دیگر “اختلال” خطا‌ها همه چیز را در هم می‌ریزد.

به این معنی‌ که هنگامی که درون‌یابی انجام می‌‌دهیم باید خود را به استفاده از دو خط اول محدود کنیم و فرمول  $\huge \star$ به شکل زیر تبدیل می‌شود:

$$\large \sin (10+k)\large \approx 0.1736+0.0172\large k.$$

(با این حال، شما می‌‌توانید تحقیق کنید که فرمول بسیار دقیقی‌ برای $k$ که   $۰\leq k\leq 1$ بدست خواهد‌آمد.)

  • تمرین ۱۶

یک جدول از چند تابع انتخاب کنید (یا جدول خودتان را بسازید)، جدول تفاضلات را تشکیل دهید، به خطی‌ که در آن اختلال خطا بر محاسبه غالب می‌‌شود توجه کنید. از بخش بالای خط مورد نظر برای درون‌یابی‌ در برخی‌ نقاط استفاده کنید. دقت درون‌یابی‌ خود را بررسی‌ کنید. تحقیق درباره اینکه چگونه تعداد قابل توجهی‌ از نمودار‌ها و فاصله نقاط جدول شما بر نتیجه تاثیر می‌‌گذارد بسیار آموزنده است.

اکنون می‌‌توانیم روشی‌ را ببینیم که در آن می‌‌توان جدول‌های تابع $f$ مانند $ln$  یا  $\sin$ را با سطح دقت داده شده گردآوری کرد. $f$ را در تعداد نسبتاً کمی‌ از نقاط با دقتی بسیار بیشتر از آنچه جدول در خواست کرده است، محاسبه می‌‌کنیم. (البته واضح است که این محاسبات ممکن است مقداری طولانی‌ باشند اما به تعداد کمی‌ از آنها نیاز خواهیم داشت.) مقادیر $f$ در نقاط باقی‌ مانده با یک درون‌یابی‌ ساده حاصل می‌‌شوند. دقت کنید هنگامی که با استفاده از $\huge \star$  تعدای از نقاط را بدست آوردیم، می‌‌توانیم ادامه جدول را با استفاده از روشی‌ که در تمرین ۱۶ به کار برده شد، بسازیم.

علم و تکنولوژی حدود ۴۰۰ سال است که وابسته به جدول‌ها است. کتاب جدول‌ها پیدا کردن مدار سیارات، حرکت جهان و انقلاب صنعتی را ممکن ساخت. کتاب لگاریتم‌ها به اندازه میکروسکوپ نماد علم محسوب می‌‌شود. با این وجود، تعداد کمی‌ از مردم قدردان زحمات جدول نویسان بوده‌اند تا جایی که امروزه کار آنها به طور کلی‌ فراموش شده است. امید است که این مقاله به شما کمک کند تا سپاسگزار زحمات این قهرمانان ناشناس باشید.

 

 

0 پاسخ

دیدگاه خود را ثبت کنید

دوست دارید به بحث ملحق شوید؟

پاسخ دهید

نشانی ایمیل شما منتشر نخواهد شد. بخش‌های موردنیاز علامت‌گذاری شده‌اند *