استادیوم فوتبال

جام جهانی ۲۰۱۸ هم بالاخره به پایان رسید. تا جام جهانی بعدی اما چهار سال و نیم باقی مانده…. تا آن زمان آیا فکر می کنید بتوانید به مسئله زیر فکر کنید؟!

مسئله:

یکی‌ از چالش‌های اساسی در طراحی‌ یک استادیوم فوتبال این است که اطمینان حاصل کنیم تماشچیان بدون اینکه دیدشان توسط تماشاچیان جلویی مسدود شود می‌‌توانند رویداد را مشاهده کنند.

وظیفۀ شما این است که جایگاه تماشاچیان را در استادیوم طراحی‌ کنید. عقب هر صندلی‌ $۸۰$ سانتی مترپشت صندلی جلویی قرار دارد، اما بالاتر، تا هر ردیف بتواند دید گسترده تری از ردیف جلوی خودش داشته باشد.

طرحی ارائه دهید که نشان دهد مقطع ارزی (دید کناری) صندلی‌‌ها به چه شکلی‌ باید باشند. آیا صندلی‌‌ها روی خط مستقیم قرار می‌‌گیرند یا روی منحنی؟در این صورت با چه شیبی؟

شما فکر می‌‌کنید چه عواملی برای تخمین ارتفاع سندلی‌‌ها باید مورد توجه قرار گیرند؟ سازمان دهندگان مسابقات فوتبال قید کرده ا‌ند که همه تماشاگران باید بتوانند به طور واضح از نقطه‌ای که در فاصله $۱۰$ متری اولین ردیف جایگاه تماشاگران قرار دارد، دید کامل داشته باشند.

یعنی‌ همان طور که در شکل بالا می‌‌بینید، تماشا گری که در ردیف دوم جایگاه نشسته است باید با همان دیدی نقطه مورد نظر را ببیند که تماشاگر در اولین ردیف قادر به دیدن آن است. با این احتساب که لازم است تماشاگر ردیف دوم، مقداری وضوح بیشتر داشته باشد تا بتواند به راحتی‌ از بالای سر اولین تماشاچی نقطه را ببیند.

در اینجا شکل را با دقت بیشتری ببینید:

چشم اولین تماشاگر در فاصله $۱٫۲$ متری از سطح زمین قرار گرفته است. حدود $۰٫۲$ متر وضوح بیشتری برای چشم او نسبت به خط دید تماشگر ردیف دوم وجود دارد. تماشاگر دوم $۰٫۸$ متر دورتر از نقطه مورد نظر قرار گرفته است.

صندلی‌ تماشاگر دوم باید در چه ارتفای از سطح زمین قرار بگیرد؟

اکنون شکلی‌ مشابه با همین ابعاد و مجهولات برای تماشاگر دوم و سوم رسم می‌‌کنیم.

در آخر فرض کنید  $۴۰$ ردیف صندلی‌ در استادیوم موجود باشد.

آیا می‌‌توانید ارتفاع از زمین را برای هر ردیف از صندلی‌‌ها مشخص کنید و سپس یک نمای جانبی از جایگاه را نمایش دهید؟

استفاده از صفحه گسترده برای انجام محاسبات تکراری و رسم نتایج بسیار سودمند است. (صفحه گسترده به صفحات جدول‌بندی شده که قابلیت انجام محاسبات ریاضی را دارند اطلاق می‌شود. صفحه گسترده (Spreadsheet) نوعی نرم‌افزار رایانه‌ای است که برای ساده کردن ورود اطلاعات (data entry) و انجام محاسبات ریاضی طراحی شده‌اند.).

 

راهنمایی

چه اندازه‌هایی را در نظر دارید؟  پیشنهاد می‌کنم به دنبال مثلث‌های مشابه بگردید!!

 

راه حل

این سوال بسیار دشوار بود! تنها یک دانش آموز به نام جاشوا از مدرسه چاتهم گرامر پسران بهترین راه حل را برایش داشت. جواب او را در ادامه بخوانید:

اولین قدم ما این است که ابعاد نشان داده شده را برای $n$ شخص حاضر در استادیوم تعمیم دهیم. نقطه‌ای که باید برای همه قابل دیدن باشد را $P$ می‌‌نامیم. در نتیجه، فاصله، $d$، از نقطه $P$ تا صندلی‌ نفر $n$ام با فرمول زیر مشخص می‌‌شود:

$$d_n=10+0.8(n-1)=10+0.8n-0.8=9.2+0.8n$$

به علاوه $\theta _n$ را زاویه بین فاصله افقی و خط دید نفر $n$ام قرار می‌‌دهیم. فرض می‌‌کنیم ارتفاع بدن افار به طور متوسط $۰٫۸$ متر باشد. $x_n$ را ارتفاع صندلی‌ شخص  $n$ام از سطح زمین در نظر می‌‌گیریم. رابطه زیر به دست خواهد آمد:

$$\theta _{n+1}=arc \tan \Big(\frac{1+x_n}{d_n}\Big)$$

درک این فرمول وقتی‌ آن را مرحله به مرحله باز کنیم آسان تر خواهد بود.

تصویر بزرگ شده در مساله اصلی‌ را به یاد بیاورید. مثلث قائم الزاویه‌ای را که با کشیدن یک خط عمود از صندلی‌ شخص اول بر خط دید شخص دوم تشکیل شده بود، در نظر بگیرید. این مثلث $\theta _2$، زاویه بین خط دید شخص دوم و فاصله افقی را در بر خواهد گرفت. ارتفاع آن با اضافه کردن وضوح دید شخص دوم ($۰٫۲$ متر) به دست می‌‌آید، ارتفاع بدن شخص ($۰٫۸$ متر) و ارتفاع صندلی‌ شخص اول ($x_1$) است. طول پایه ($d_1$) نیز فاصله جایگاه شخص اول از نقطه $P$ است. با در نظر گرفتن شکل مشابه و جایگزینی $n$ و $n+1$ به جای ۱ و ۲ حالت کلی‌ به دست می‌‌آید. از این رو با استفاده از عبارت  $\tan \theta =opp/adj$،  فرمول کلی‌ بلا را به دست خواهیم آورد.

اکنون می‌‌توانیم $d_n$ را در فرمول با $۹٫۲+۰٫۸n$ جایگزین کنیم، در این صورت به دست خواهیم آورد:

$$\theta _{n+1}=arc\tan \Big(\frac{1+x_n}{9.2+0.8n}\big)$$

اکنون، آخرین قدم ایجاد یک رابطه بازگشتی با حذف  $\theta$، بین $x_{n+1}$ و $x_n$ است. می‌‌توانیم این کار را با به دست آوردن یک عبارت برای $\theta _{n+1}$ بر حسب$x_{n+1}$ به دست آوریم. با دقت به تصویر بزرگ شده قبلی‌، باید عبارتی برای $x_2$ بدست بیاوریم و سپس آنرا تعمیم دهیم.

مثلثی که را که از کشیدن خط عمود از جایگاه دوم به خط دید آنها  و فاصله افقی تا نقطه $P$ به دست می‌‌آید در نظر بگیرید. این فاصله افقی $d_2$ است و فاصله عمودی $x_2+0.8$ است. در نتیجه، با استفاده از فرمول تانژانت خواهیم داشت:

$$\theta _{n+1}=arc\tan \Big( \frac{x_{n+1}+0.8}{d_{n+1}} \Big)$$

با حذف $\theta _{n+1}$ از هر دو معادله، در نهایت به رابطه زیر دست پیدا می‌کنیم:

$$x_{n+1}=\frac{2.64+0.16n+(10+0.8n)x_n}{9.2+0.8n}$$

اکنون می‌‌توانیم جدولی‌ برای استفاده از این فرمول تهیه کنیم تا تمام مقادیر را از $x_2$ تا  $x_{40}$ با توجه به اینکه $x_1=0.4$ است محاسبه کنیم.

مقادیر خواسته شده به ترتیب زیر هستند:

$$x_2=0.712$$

$$x_3=1.0388…$$

$$~~~ \vdots$$

$$x_{40}=19.0444…$$

فوق العاده است! …

0 پاسخ

دیدگاه خود را ثبت کنید

دوست دارید به بحث ملحق شوید؟

پاسخ دهید

نشانی ایمیل شما منتشر نخواهد شد. بخش‌های موردنیاز علامت‌گذاری شده‌اند *